上一节，简单介绍了收益管理的背景。本节正式开始介绍收益管理中最简单的一类模型，single resource model。它只研究在某一个 leg 上如何实现最大化期望收益。

为了更好的说清楚 single resource model，以下有必要正式地阐述主要假设。

假设

  • 各个舱位 (票价等级) 共享同一个资源（座位）。这些舱位区别在于不同的折扣水平，和服务条款。
  • 每个需求都只为 1，即不考虑团体预定。
  • Yieldable demand. 每个顾客的需求不会因为舱位控制而改变。即不存在顾客本来要买高价格舱位，看到低价格舱位开放转而购买了低舱位，称为 buy-down 效应；也不存在本来只想买低舱位，但是由于低舱位关闭，被迫转而预定高舱位的 buy-up 效应。
  • Poisson arrival. 假设 demand arrival 是一个泊松过程（Poisson process）。
  • Risk neutral. 假设公司是风险中性的，也就是优化目标是最大化期望收益。

以上的假设又称作动态模型假设。既然有『动态』，肯定也有『静态』。静态模型假设主要是假定需求的到来严格按照从低到高的先后顺序，没有重叠。例如，出发前 3 个月到 1 个月，只有 Q 舱需求，1 个月到半个月，只有 M 舱需求，出发前两周内，只有 Y 舱需求。如此，需求仿佛被『固定』下来了，『动态』相对于『静态』，则并不假定需求的先后顺序。

静态需求模型有很多出名的算法，如 EMSR。本文重点在动态模型，就不扯歪了。

问题描述

总共 $C$ 个座位资源。 $n$ 个舱位，各自的票价为 $f_1 \geq f_2 \geq \dots \geq f_n$. 总共 $T$ 段时间，从前往后分别是 $1,\dots,T$. 舱位和时间的 index 分别用 $j$ 和 $t$ 表示。需求的到达是泊松过程，所以可以认为当时间划分的足够细，每一段时间内最多有一个需求到达。在时间段 $t$ 内，各个舱位需求到达的概率为 $p_{jt}$。 没有需求到达的概率为 $p_{0t}$。那么对每个 $t$ 必然有

∑j=1npjt=1−p0t.\sum_{j=1}^n p_{jt} = 1 - p_{0t}.

我们的问题就是如何动态地控制各个舱位的开闭，使得期望收益最大化。

动态规划

动态模型（DP）可以很自然的用动态规划来表示。 用 $V_t(x)$ 表示处于时间 $t$ 时，还剩 $x$ 个座位的最大期望收益。设定边界条件：

VT+1(x)=0,x=0,1,…,C,V_{T+1}(x) = 0, x=0,1,\dots,C,

和

Vt(0)=0,t=1,…,T.V_t(0)=0, t=1,\dots,T.

DP 模型如下：

Vt(x)=∑j=1npjt⋅max⁡{fj+Vt+1(x−1),Vt+1(x)}+p0tVt+1(x)=∑j=1npjt⋅max⁡{fj+Vt+1(x−1)−Vt+1(x),0}+∑j=1npjtVt+1(x)+p0tVt+1(x)=∑j=1npjt⋅max⁡{fj−ΔVt+1(x),0}+Vt+1(x) \begin{aligned} V_t(x) &= \sum_{j=1}^n p_{jt} \cdot \max\Big\{f_j+ V_{t+1}(x-1), V_{t+1}(x)\Big\} + p_{0t} V_{t+1}(x) \\ &= \sum_{j=1}^n p_{jt} \cdot \max\Big\{f_j + V_{t+1}(x-1) -V_{t+1}(x), 0\Big\} + \sum_{j=1}^n p_{jt} V_{t+1}(x) + p_{0t} V_{t+1}(x) \\ &= \sum_{j=1}^n p_{jt} \cdot \max\Big\{f_j - \Delta V_{t+1}(x), 0\Big\} +V_{t+1}(x) \end{aligned}

以上第三步定义了 $\Delta V_{t+1}(x) := V_{t+1}(x) - V_{t+1}(x-1)$，其实际意义是在时间 $t+1$ 还剩 $x$ 个座位的情况下，增加一个座位的期望边际收益。另一种解释是，在时间 $t+1$ 还剩 $x$ 个座位的情况下，卖掉一个座位的机会成本。严格来说，以上两种解释并不是完全等价的，第一个看到的是多一个座位的收益，而第二个看到的是少一个座位的成本。然而我们可以认为这两个值近似相等。

事实上，以上 DP 还告诉我们了，任何时候，一个舱位 $j$ 的需求到来，最优的策略是，接受这个需求，当且仅当

fj≥ΔVt+1(x).f_j \geq \Delta V_{t+1}(x).

于是，很形象的，$\Delta V_{t+1}(x)$ 在业界还有另一个名字，叫 bid price. 最优的策略是，任何时候，航司只接受票价高于 bid price 的舱位需求。

DP 的计算可以用 back recursion，即从起飞日算起（此时的 $V_{T+1}(x)=0$），逐渐往早算，直至最早的时间（$t=1$）.

具体的实施，是通过 DP，计算一个巨大的 bid price 表格，以剩余座位数为行，时间为列。对于任何一个到来的需求，只需要查找对应的 bid price，做一个比较，即可决定接受或拒绝该需求。

结构性质

Bid price $\Delta V_{t}(x)$ 有两个重要的边际价值递减性质，在 DP 的运算中可以充分利用以加速。

对任意 $x$ 和 $t$， $\Delta V_{t}(x)$ 满足：
(1) $\Delta V_{t}(x+1) \leq \Delta V_{t}(x)$
(2) $\Delta V_{t+1}(x) \leq \Delta V_{t}(x)$

总结

对于动态模型，采用 DP 推导出的 bid price 控制，可以达到最优的期望收益。理论上，bid price 应当在每个需求到达后重新计算，以保持精确。实践中，一般将出发前的时间分段成大的几个 DCP (Data Collection Points)，只在每个 DCP 才更新 bid price。

本文的模型只是很简单的 single-leg 模型。对很多大航司而言，大多数的票并不是按照一个 leg 一个 leg 卖的，而是打包成一个行程，比如从 A 到 B 到 C 的联程票。如何管理一个航班网络的座位资源，显然，问题变得复杂许多。下一节，将介绍考虑了网络效应的 network model。